求导数的10种方法
01、定义法
这是求导数的根本来源，适用于推导基本公式或在分段点处求导数（后面单独列出）。
公式：或者对于某个点x0：
定义法的核心就是构造极限limΔy/Δx。无论是三角函数、分段函数、抽象函数还是幂函数，紧紧抓住这一点，问题就转化为求极限或判断左右极限是否相等。
①证明基本公式
例题01：(sinx)'=cosx
根据定义，令h=△x
利用和差化积公式sinA-sinB=2cos(A+B)/2sin(A-B)/2，可得：
sin(x+h)-sinx=2cos(x+h/2)sin(h/2)
于是有：
例题02：(xn)’\=nxn-1
设n为正整数，根据定义：
根据二项式展开定理：
(x+h)n\=xn+cn1xn-1h+cn2xn-2h2+......+cnn-1xhn-1+hn
(x+h)n-xn\=cn1xn-1h+cn2xn-2h2+......+cnn-1xhn-1+hn
②抽象函数只知道某点性质时
例题03：已知抽象函数f(x)在x=a处可导，且有f’(a)=3，求：
因此原极限值等于9
02、公式法
基本初等函数 | 导数 |
C(常数) | 0 |
xn | nxn-1 |
ex | ex |
ax | axlna |
lnx | 1/x |
logax | 1/(xlna) |
sinx | cosx |
cosx | -sinx |
tanx | sec2x |
arcsinx | |
arctanx |
记忆要点：正弦变余弦，余弦变负正弦；ex不变，lnx倒过来。
03、四则运算法则
适用于由基本初等函数通过加减乘除组合而成的函数。
加减：(f±g)'=f'±g'
乘法：(fg)'=f'g+fg'
除法：
04、链式法则
这是最重要、最常用的方法，用于求多层嵌套的函数。
若y=f(u)，u=g(x)，则：，即从外道内逐层求导，再相乘。
例题04：(sin2x)'=cos2x·(2x)'=2cos2x
例题05：
05、隐函数求导法
当函数y与x的关系由方程F(x,y)=0隐含给出时使用。
方法：两边同时对x求导，遇到y就乘y'，然后解出y'。
例题06：x2+y2\=1
两边求导：2x+2yy'=0\==》y'=-x/y
06、参数方程求导法
若x=x(t)，y=y(t)，则：
例题07：圆的参数方程x=cost，y=sint，
07、对数求导法
适用于多个因式的乘除、乘方开方或者幂指函数。
做法：
1.两边取对数：lny=......
2.两边对x求导（左边用链式法则：y'/y）
3.解出y'
例题08：y=xx，求y’
lny=xlnx
y'/y=lnx+1
y'=xx(lnx+1)
例题09：y=xsinx，求y’
lny=sinxlnx
y'/y=cosxlnx+sinx·1/x
y'=xsinx[cosxlnx+sin(x)/x]
例题10：，求y’
lny=(1/2)[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)]
y'/y=(1/2)[1/(x-1)+1/(x-2)-1/(x-3)-1/(x-4)]
y'\=(y/2)[1/(x-1)+1/(x-2)-1/(x-3)-1/(x-4)]
08、反函数求导法
若y=f(x)有反函数x=f-1(y)，则：
例题11：已知(ex)'=ex，求(lnx)'
设y=ex，则x=lny。由反函数求导：
把y换成x，得(lnx)'=1/x。
09、分段函数求导法
分段点：必须用导数定义判断左右导数是否存在且相等。非分段点直接套用公式。
例题12：(可导，左右导数相等)
在x=0处，f(0)=0：
左右导数相等，故f'(0)=0，该分段函数在分段点处可导。
例题13：设函数：，求f’(0)
虽然x≠0时的导函数f’(x)=2xlin(1/x)-cos(1/x)在x->0时极限不存在，但是f’(0)却存在且等于0，这也说明了求导定义法的重要性。
例题14：（不可导，左右函数不相等）
设函数：
在分段点处，f(0)=0
因为1≠-1，所以f’(0)不存在，该分段函数在分段点处不可导（但有尖点）
10、高阶导数的求法
①数学归纳法
当函数经过几次求导后，如果发现有明显的周期性规律或可预测的结构模式（例如三角函数与指数函数的组合），我们可以先通过计算前几阶导数猜测到通项公式，再用数学归纳法进行严格证明。
例题15：求y=exsinx的n阶导数
1.计算前几阶寻找规律：
y′=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=√2exsin(x+π/4)
y′′=√2[exsin(x+π/4)+excos(x+π/4)]=(√2)2exsin[x+(2π)/4]
2.提出猜想：y(n)\=(√2)nexsin[x+(nπ)/4]
3.数学归纳法证明：
基础步骤：n=1时已验证成立。
归纳假设：假设n=k时成立，即y(k)\=(√2)kexsin[x+(kπ)/4]
归纳递推：对k阶导数再次求导：
y(k+1)\=(√2)k{exsin[x+(kπ)/4]+excos[x+(kπ)/4]}=(√2)kex√2sin[x+(kπ)/4+π/4]=(√2)k+1exsin[x+(k+1)π/4]
完全符合猜想形式，证明完毕。
②莱布尼茨公式
用于求两个函数乘积的高阶导数。
公式：
例题16：求y=x2ex的10阶导数
令f=ex（任意阶导数为ex），g=x2。
因为g′=2x，g′′=2，g(k)\=0 (k≥3)，代入公式：
y(10)\=C100exx2+C101ex(2x)+C102ex(2)=exx2+10ex·2x+45ex·2=ex(x2+20x+90)
③泰勒展开法
专门用于求函数在某一点x=x0处的特定阶数高阶导数f(n)(x0)，尤其是x0\=0（麦克劳林级数）时极为高效，它可以避开繁琐的逐阶求导过程。
核心原理：
函数在x=0处的泰勒展开式为：
如果我们能通过已知公式将f(x)展开为幂级数，那么xn项的系数必定等于f(n)(0)/n!，通过对比系数即可直接解出f(n)(0)。
例题17：已知 ，求f(10)(0)
根据麦克劳林公式，
代入（把x换成x2）可得：
在泰勒公式中，x10项的系数是f(10)(0)/10!
于是有f(10)(0)/10!=1/5!，解得：f(10)(0)=30240